Trong
toán học,
hàm số đại số hay
hàm đại số là một
hàm số có thể được định nghĩa là
nghiệm của phương trình đa thức. Các hàm đại số thường là [[Biểu thức đại số|các
biểu thức đại số]] sử dụng một số lượng các số hạng hữu hạn, chỉ liên quan đến các
phép toán đại số cộng, trừ, nhân, chia và lũy thừa. Ví dụ về các hàm đó là:Tuy nhiên, một số hàm đại số không thể được biểu thị bằng các biểu thức hữu hạn như vậy (đây là
định lý Abel-Ruffini). Đây là trường hợp, ví dụ, đối với gốc Bring, là hàm được định nghĩa ngầm định bằng phương trìnhNói một cách chính xác hơn, một hàm đại số bậc n của một biến x là hàm y = f ( x ) , {\displaystyle y=f(x),} mà là liên tục trong
tập xác định và thỏa mãn một
phương trình đại sốtrong đó các hệ số ai(x) là các
đa thức của x, với các hệ số nguyên. Nó có thể được chỉ ra rằng cùng một tập hợp các hàm có được nếu
các số đại số được cho phép làm các hệ số ai(x). Nếu
các số siêu việt xuất hiện trong các hệ số hàm, nói chung thì hàm đó không còn là hàm đại số nữa, nhưng là hàm đại số trên trường do các hệ số trên tạo ra.Giá trị của hàm đại số tại một giá trị biến là
số hữu tỷ, và nói chung, khi biến là một
số đại số thì luôn luôn là một số đại số. Đôi khi, hệ số a i ( x ) {\displaystyle a_{i}(x)} đó là đa thức trên một
vành R được xem xét và sau đó người ta nói về chúng như là "các hàm đại số trên R ".